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Aug 07, 2023

Quantenglühen zur Mikrostrukturäquilibrierung mit langen

Wissenschaftliche Berichte Band 13,

Wissenschaftliche Berichte Band 13, Artikelnummer: 6036 (2023) Diesen Artikel zitieren

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Details zu den Metriken

Wir demonstrieren die Verwendung und Vorteile von Quantenglühansätzen zur Bestimmung ausgeglichener Mikrostrukturen in Formgedächtnislegierungen und anderen Materialien mit weitreichender elastischer Wechselwirkung zwischen kohärenten Körnern und ihren verschiedenen Martensitvarianten und -phasen. Nach einer eindimensionalen Darstellung des allgemeinen Ansatzes, der es erfordert, die Energie des Systems anhand eines Ising-Hamilton-Operators zu formulieren, verwenden wir distanzabhängige elastische Wechselwirkungen zwischen Körnern, um die Variantenauswahl für verschiedene Transformationseigenspannungen vorherzusagen. Die Ergebnisse und die Leistung der Berechnungen werden mit klassischen Algorithmen verglichen und zeigen, dass der neue Ansatz zu einer deutlichen Beschleunigung der Simulationen führen kann. Über eine Diskretisierung mit einfachen quaderförmigen Elementen hinaus ist auch eine direkte Darstellung beliebiger Mikrostrukturen möglich, was schnelle Simulationen mit derzeit bis zu mehreren tausend Körnern ermöglicht.

Die Modellierung von Mikrostrukturen ist ein wichtiger Ansatz zum Verständnis, zur Verbesserung und Entwicklung neuer Materialien für verschiedene Anwendungen. Da jedoch Mechanismen unterschiedlicher Länge und Zeitskalen eng miteinander verknüpft sind, sind solche Beschreibungen und Modellimplementierungen typischerweise eine Herausforderung und erfordern enorme Rechenressourcen. Obwohl Phasenfeldsimulationsansätze – die bekannteste Methode zur Vorhersage der Mikrostrukturentwicklung – stark von Entwicklungen wie der dünnen Grenzflächengrenze1,2, nichtdiagonalen Phasenfeldmodellen3,4 und scharfen Phasenfeldansätzen5 profitieren, können Simulationen, die große mikrostrukturelle Domänen enthalten, Vorhersagen mit einer bestimmten Genauigkeit erhalten statistische Signifikanz ist selten und wird stark durch die verfügbaren (Super-)Computerressourcen und die damit verbundenen Kosten und den Energieverbrauch begrenzt. Trotz der enormen Fortschritte in diesem Forschungsbereich und der zunehmenden Verwendung paralleler Computer und Grafikkarten für die Simulationen bleiben die Einschränkungen der Rechentechniken ein ernstzunehmender Faktor für den grundlegenden wissenschaftlichen Fortschritt und die angewandte Forschung.

Eine der auffälligsten Fragen, die sich am Horizont der materialwissenschaftlichen Modellierung stellt, ist, wie Quantencomputer die Simulationslandschaft in Zukunft möglicherweise verändern werden. Allerdings ist ein universell einsetzbarer Quantencomputer in ausreichender Größe derzeit noch nicht verfügbar. Mittlerweile ist eine Technologie namens Quantum Annealing (QA)6,7,8,9,10 entstanden und an mehreren Standorten weltweit verfügbar. Der Einsatz solcher Maschinen unterscheidet sich erheblich von herkömmlichen Gate-basierten Computern und daher können Quanten-Annealer derzeit nur spezifische Probleme bewältigen11. Das Konzept eines Quanten-Annealers besteht darin, dass seine Qubits in einem genau definierten Zustand initialisiert werden, der durch einen Hamilton-Operator mit einem eindeutigen Grundzustand beschrieben wird12. Während des Betriebs bei kryogenen Temperaturen wird dieser Hamilton-Operator adiabatisch geändert, so dass sich der Grundzustand in den endgültigen, gewünschten Hamilton-Operator umwandelt12,13 und somit die effiziente Durchführung globaler Energieminimierungsberechnungen ermöglicht. Die Struktur dieser Hamiltonoperatoren ist ein binäres quadratisches Modell, das durch eine quadratische uneingeschränkte binäre Optimierung oder äquivalent durch ein Ising-Modell11 ausgedrückt werden kann. Aufgrund dieser spezifischen Struktur sind materialwissenschaftliche Anwendungen dieser Technologie bisher noch selten. Stattdessen konzentriert sich die aktuelle Forschung hauptsächlich auf Benchmarking und Leistungstests des Quantum Annealing im Vergleich zu klassischen Ansätzen14,15,16.

Erste Anwendungen im Bereich der Biologie und Verkehrsforschung im Sinne von Optimierungsproblemen wurden in jüngster Zeit entwickelt. Hier ermöglicht Quanten-Annealing die effiziente Analyse von Transkriptionsfaktoren in der Genexpression mit kombinierten Algorithmen des maschinellen Lernens17, die Identifizierung von Konformationen von Gitterproteinmodellen18 und deren Faltung19, die Erkennung von Baumbeständen in Luftbildern20, reale Verkehrsflussoptimierungsprobleme21 oder die Steuerung automatisierter Verfahren geführte Fahrzeuge22. Allerdings ist die Verwendung von Quantenglühen in der Materialwissenschaft nicht weit verbreitet und nur wenige Veröffentlichungen beziehen sich auf Phasenübergänge im Transversalfeld-Ising-Modell23, die Untersuchung kritischer Phänomene in frustrierten Magneten mithilfe des Shastry-Sutherland-Ising-Modells24, Monte-Carlo-Probenahme25 und die automatisierte Materialdesign von Metamaterialien26. Ziel der vorliegenden Arbeit ist es daher zu zeigen, dass diese neuartige Technologie tatsächlich zu völlig neuen Möglichkeiten führen kann, die über die bestehenden und häufig verwendeten Beschreibungen zur Modellierung von Mikrostrukturen hinausgehen.

Um so explizit und anschaulich wie möglich zu sein, demonstrieren wir hier den Fall kohärenter Festkörperumwandlungen mit austenitischen und martensitischen Phasen, wobei letztere in verschiedenen Varianten auftreten dürfen. Solche Übergänge spielen bei Formgedächtnislegierungen wie NiTi eine Rolle, die sich bei niedrigen Temperaturen leicht verformen lassen, aber durch Erhitzen auf höhere Temperaturen kehrt das Material in seine vorherige, trainierte Form zurück27. Die Modellierung und Zuordnung von Formgedächtnislegierungen zu Spinglassystemen wurde bereits in mehreren Studien28,29,30,31 etabliert und kann hier für QS-Anwendungen genutzt werden. Im Folgenden bleiben wir hauptsächlich bei der Terminologie der Formgedächtnislegierungen, betonen jedoch, dass mit ähnlichen Ansätzen beispielsweise das Transformations- und Verformungsverhalten in Stählen, ferroelastischen Materialien sowie Phasenänderungen in Festelektrolyten für wiederaufladbare Batterien modelliert werden können. Der besondere Aspekt, der hier eine zentrale Rolle spielt, sind die anisotropen weitreichenden elastischen Wechselwirkungen, die bei Festkörpertransformationen üblich sind32, und daher hängt die Grundzustandskonfiguration nicht nur von Phasenkonzentrationen und -anteilen ab, sondern auch von der detaillierten mikrostrukturellen Anordnung von Phasen und Körner. In einer typischen Phasenfeldsimulation33 wird die mikrostrukturelle Entwicklung zusammen mit der Relaxation der mechanischen Verformungen im Sinne einer Kontinuumsbeschreibung gelöst, was zu sehr langen Simulationszeiten führt. Hier zeigen wir, dass die Trennung der diskreten Freiheitsgrade für die Variantenverteilung martensitischer Phasen von der kontinuierlichen Entwicklung der Mikrostruktur und der QS-Behandlung es ermöglicht, die Leistung der Berechnungen drastisch zu steigern und somit deutlich größere, anwendungsrelevante Systeme zu simulieren im Vergleich zu bestehenden Ansätzen.

Für ein vereinfachtes 1D-Modell betrachten wir nur eine „martensitische“ Phase, von der angenommen wird, dass sie in zwei verschiedenen Varianten existiert. Daher besteht die Mikrostruktur aus einer Reihe von Körnern dieser Varianten, wie im Einschub von Abb. 1a dargestellt. Um es explizit auszudrücken, gehen wir davon aus, dass beide Varianten eine spannungsfreie Dehnung (Eigenspannung) aufweisen, die zu einer Scherverformung relativ zur austenitischen Mutterphase führt, und bezeichnen diese Varianten durch Zustandsvariablen \(s_i=\pm 1\). Da wir die Beschreibung am Ende auf ein eindimensionales Ising-Modell abbilden werden, verwenden wir auch hier die Terminologie von „Spins“ mit zwei möglichen Ausrichtungen im Sinne eines magnetischen Modells. Da jede der Varianten zu einer Scherung der Zelle führt, ergibt sich je nach Spinkonfiguration insgesamt eine spannungsfreie Verformung dieser Linie (im Vergleich zum scherspannungsfreien Austenit). Wir gehen davon aus, dass alle Körner die gleiche Höhe \(d\), die gleichen elastischen Konstanten und die entgegengesetzte Schereigenspannung \(\pm \varepsilon _0\) haben. Wie man aus dem Einschub von Abb. 1a leicht erkennen kann, hängt die spannungsfreie Gleichgewichtsposition des oberen Korns \(x_0\) nur von der Anzahl der Varianten \(N_+\) mit der Ausrichtung \(s_i=+1\) ab. und \(N_-\) mit \(s_i=-1\), jedoch nicht auf der einzelnen Anordnung, was eine Besonderheit des vereinfachten 1D-Modells und der gewählten Eigendehnung darstellt. Daher ist für eine feste Anzahl \(N=N_++N_-\) Spins in einer Reihe die makroskopische spannungsfreie Dehnung \(\bar{\varepsilon } = (N_+ - N_-)\varepsilon _0/N\ ), was zu \(x_0 = N d \bar{\varepsilon }\) führt. Wenn eine äußere Verformung erzwungen wird, also \(x\ne x_0\) beträgt die elastische Energie \(F_{el}=\mu _\text{eff} (x-x_0)^2\) mit einem effektiven Schubmodul \ (\mu _\text{eff}\). Offensichtlich wird die elastische Energie minimiert, wenn die Spinkonfiguration so ist, dass \(x=x_0\), was \((N_+-N_-)_\text{min} = x/\varepsilon _0 d\) impliziert bis zum Sättigungspunkt, an dem alle Spins ausgerichtet sind. Dieser Ausdruck dient als Referenz für den Vergleich mit den folgenden numerischen Minimierungsansätzen. Wir stellen fest, dass wir zu diesem Zeitpunkt die diskrete Natur der Varianten vernachlässigt haben, was bedeutet, dass der ganzzahlige Wert \(N_+-N_-\) so nah wie möglich am Kontinuumswert \((N_+-N_-)_ liegen sollte \text{min}\) oben. Obwohl die Energie im einfachen 1D-Modell nicht von der Anordnung der Varianten abhängt, sondern nur von den Gesamtzahlen \(N_+\) und \(N_-=N-N_+\), formulieren wir das Modell hier auf der Ebene der einzelnen „Spins“ \(s_i\) für die spätere Erweiterung in höhere Dimensionen und den Einsatz des Quanten-Annealers. Daher erhalten wir \(N_+ - N_- = \sum _i s_i\). Wenn man dies in den Ausdruck der elastischen Energie einsetzt, erhält man \(F_\text{el} = \mu _\text{eff} \varepsilon _0^2d ^2 \sum _{i,j} s_i s_j - 2\mu _\text{ eff} x \varepsilon _0 d \sum _i s_i +\mu _\text{eff} x^2\), wobei die Summationen über alle Spins laufen. Für die Implementierung auf einem Quantenannealer müssen wir dies auf die Ising-Form eines Hamilton-Operators H mit bringen

wobei der erste Term der Wechselwirkung mit einem externen Magnetfeld \(h_i\) und der zweite Term einer Spin-Spin-Wechselwirkung entspricht, die eine ferromagnetische (antiferromagnetische) Ordnung begünstigt, falls die Kopplungskonstante \(J_{ij}\) ist negativ (positiv). Der letzte, spinunabhängige Term \(H_0\) ist nur eine irrelevante additive Konstante. Aus dem Vergleich der beiden obigen Ausdrücke identifizieren wir \(h_i = - 2\mu _\text{eff} x \varepsilon _0 d\) und \(J_{ij} = 2 \mu _\text{eff} \varepsilon _0^2 d ^2\). Zunächst stellen wir fest, dass die äußere Verformung hier analog zum Magnetfeld in der Ising-Beschreibung ist. Zweitens ist der Term der Spin-Spin-Wechselwirkung \(J_{ij}\) positiv und begünstigt daher die „antiferromagnetische Ordnung“. Außerdem ist dieser Term unabhängig von den Spinzahlen i, j, was bedeutet, dass diese Wechselwirkung nicht vom Abstand zwischen den Körnern abhängt. Mit anderen Worten: Die elastische Wechselwirkung hängt nur von der gemittelten „Magnetisierung“ \(N_+-N_-\) ab, was eine mittlere Feldwechselwirkung impliziert.

Ziel der Formulierung ist es, die elastische Energie zu minimieren und die optimale Spin- oder Variantenkonfiguration \(\{s_i\}\) zu finden. Zu diesem Zweck verwenden wir drei verschiedene numerische Ansätze (siehe Abschnitt „Methoden“) und die Ergebnisse werden mit der obigen analytischen Lösung verglichen: Erstens iteriert ein Brute-Force-Ansatz über alle Spinkonfigurationen, um das energetische Minimum genau zu finden, zweitens verwenden wir simuliertes Tempern als probabilistischer Grundzustandsfinder und schließlich der Quanten-Annealing-Ansatz. Abb. 1a zeigt die resultierende „Magnetisierung“ \((N_+-N_-)/N\), also die durchschnittliche Variantenorientierung, als Funktion der angelegten Verschiebung \(x/d N\varepsilon _0\), die dem entspricht Magnetfeld im Ising-Modell.

Ergebnisse des eindimensionalen Modells im Vergleich verschiedener numerischer und analytischer Methoden. (a) Mittlere Variantenorientierung \((N_+-N_-) / N\) als Funktion der Verschiebung \(x / d N \varepsilon _0\). Vergleich zwischen den Ergebnissen der numerischen Minimierung (durchgezogene Linien) und der analytischen Theorie für ein unendliches und kontinuierliches System (gestrichelte Linie). Bei großer Verschiebung sind alle „Spins“ ausgerichtet und daher ist die „Magnetisierung“ gesättigt. Der Einschub zeigt eine Skizze der eindimensionalen Anordnung der Martensitvarianten \(s_i=+1\) (rot) und \(s_i=-1\) (grün). Die untere Reihe ist auf die Position \(x=0\) fixiert, während das obere Korn im spannungsfreien Zustand eine mittlere Position \(x_0\) hat. Wenn eine zusätzliche äußere Spannung oder Dehnung ausgeübt wird, wird die oberste Schicht an die Position x verschoben und die gesamte Mikrostruktur wird in die gestrichelte Konfiguration geschert. (b) Verstrichene Rechenzeit als Funktion der Anzahl der Körner. Es werden verschiedene Methoden und Algorithmen verglichen. Die gestrichelten Teile der QA-Kurve gehören zum Bereich der Kettenbrüche. Für große Systemgrößen bleibt nur der hybride Quanten-Annealing-Ansatz möglich, der einen nahezu konstanten Rechenzeitbedarf für weniger als 1000 Spinvariablen zeigt (Einschub).

Die Ergebnisse stimmen erwartungsgemäß mit der analytischen Theorie überein, bis auf den oben erwähnten Diskretisierungseffekt, der bei großen Kornzahlen weniger ausgeprägt ist. Bei hohen Verschiebungen tritt die Sättigung ein, wenn alle Varianten entzwillingt sind, was bedeutet, dass sich alle Spins entweder im Zustand \(+1\) oder \(-1\) befinden. Wir stellen fest, dass für die untersuchte Anzahl von Spins alle verwendeten Algorithmen zum gleichen Energieminimum führen, was bestätigt, dass auch die probabilistischen Ansätze tatsächlich die globalen Minimumzustände finden.

Abb. 1b zeigt die erforderliche Rechenzeit für die verschiedenen Methoden und Algorithmen als Funktion der Anzahl der Körner N. Alle herkömmlichen Algorithmusimplementierungen basieren auf Einzelkernberechnungen ohne Parallelisierung und werden hauptsächlich für einen qualitativen Vergleich als Schwerpunkt der Darstellung dargestellt Die Forschung beschäftigt sich mit dem Quanten-Annealing-Ansatz. Für Letzteres verwenden wir Quantum Processing Unit (QPU)-Implementierungen bis zur höchstmöglichen Anzahl von Spins (typischerweise \(N\ca. 170\) für die Pegasus-Architektur34 einer D-Wave-Maschine). Der Brute-Force-Ansatz, bei dem Iterationen über alle Spinkonfigurationen ausgeführt werden, hat die höchste Rechenzeit. Selbst bei kleinen Spinsystemen um \(N\ca. 40\) war die verstrichene Benutzerzeit aufgrund der Simulationszeitskalierung \(\sim {{\mathcal {O}}}(2^N)\ zu groß für praktische Anwendungen. ). Die reine Quantum-Annealing-Methode liefert die schnellsten Ergebnisse und führt zu einer nahezu konstanten QPU-Zugriffszeit. Insgesamt sind die Berechnungen für \(N\ca. 150\) etwa drei Größenordnungen schneller als für die anderen klassischen Ansätze. Ab etwa \(N\ca. 50\) Spins kommt es gelegentlich zu sogenannten Kettenbrüchen35. Sie resultieren aus der Notwendigkeit, stark gekoppelte Spins als einen einzigen logischen Spin zu kodieren. Idealerweise sollten diese Spins denselben Zustand wie die einzelnen Spins darstellen, in der Praxis kann diese Identität jedoch verletzt werden. Um dieses Problem zu vermeiden und noch größere Systeme zu simulieren, die für die höherdimensionale Modellierung in den folgenden Abschnitten unerlässlich sind, können hybride klassische und Quanten-Annealing-Ansätze verwendet werden, die reine Qualitätssicherung mit herkömmlichen Minimierungsansätzen kombinieren36. Die numerischen Ergebnisse in Abb. 1b zeigen einen Anstieg der Rechenzeit des Hybridlösers im Vergleich zur reinen Qualitätssicherung, aber die relative Beschleunigung im Vergleich zu den klassischen Algorithmen wird noch auffälliger. Für den Hybridlöser ist die verstrichene Rechenzeit im Wesentlichen unabhängig von der Anzahl der Spinvariablen und steigt erst ab \(10^3\) Grains auf mehrere Sekunden. Insgesamt ist die Hybrid-QA eindeutig der schnellste Ansatz für große Kornzahlen und wird daher in den folgenden zweidimensionalen Simulationen verwendet.

Zur Bestimmung der linearen elastischen Energie über eine Dimension hinaus betrachten wir kohärente Ausscheidungen verschiedener Varianten, die sich innerhalb der Matrix bilden. Auf diese Weise kann man davon ausgehen, dass das gesamte Material aus kleinen Einheiten besteht (im Folgenden als Körner bezeichnet), die sich in einem der verschiedenen martensitischen Zustände befinden können. Die einfachste mögliche (kartesische) Diskretisierung besteht darin, kleine quaderförmige Körner mit der Kantenlänge a zu verwenden. Es wird davon ausgegangen, dass alle Körner kohärent sind (die elastischen Verschiebungen und Zugkräfte sind an den Grenzflächen zwischen den Körnern kontinuierlich), und wir verwenden homogene Elastizität, dh wir ignorieren Unterschiede in den elastischen Konstanten zwischen den verschiedenen Phasen oder Varianten. Dies hat zur Folge, dass sich die elastische Energie auf Kombinationen paarweiser Wechselwirkungen zwischen allen Körnern reduziert37.

Zu Demonstrationszwecken führen wir hier zweidimensionale Simulationen in einem ebenen Dehnungsaufbau durch, eine Übertragung auf drei Dimensionen ist jedoch problemlos möglich. Insbesondere hängt der Annealer-Teil nicht von der Dimensionalität der Beschreibung ab. Der qualitativ neue Aspekt über 1D hinaus ist das Auftreten von abstands- und orientierungsabhängigen „Spin-Spin“-Wechselwirkungen, die nur langsam mit dem Abstand zwischen den Körnern abklingen und daher zu vollständig besetzten Matrizen \(J_{ij}\) führen. Da sich herausstellt, dass eine genaue Bestimmung der elastischen Wechselwirkungsenergie für eine präzise Vorhersage der Gleichgewichtsmikrostruktur unerlässlich ist, verwenden wir Fourier-Transformationsansätze mit periodischen Randbedingungen, wie im Abschnitt Methoden beschrieben. Als Randbedingungen verwenden wir entweder die verschwindende Durchschnittsspannung im periodischen Volumen V, \(\langle \sigma _{ij} \rangle = \frac{1}{V} \int \sigma _{ij}(\textbf{r })\,d\textbf{r} = 0\), oder, ähnlich der 1D-Beschreibung, eine gegebene mittlere Dehnung \(\langle \varepsilon _{ij} \rangle\). Wir verwenden im Folgenden der Einfachheit halber isotrope Elastizität, die z. B. durch den Lamé-Koeffizienten \(\lambda\) und den Schubmodul \(\mu\) beschrieben wird, d. h. die Spannungs-Dehnungs-Beziehung lautet \(\sigma_{ij} = 2\mu (\varepsilon _{ij}-\varepsilon _{ij}^{(0)}) + \lambda \delta _{ij} (\varepsilon _{kk}-\varepsilon _{kk}^{ (0)})\), wobei implizite Summierung über wiederholte Indizes verwendet wird. Die ortsabhängige Eigenspannung \(\varepsilon _{ij}^{(0)}(\textbf{r})\) ist für eine gegebene Mikrostruktur mit festen phasenabhängigen spannungsfreien Spannungen (relativ zur austenitischen Mutterphase) bekannt, \ (\varepsilon _{ij}^{(0)}(\textbf{r}) = \theta (\textbf{r}) \varepsilon _{ij}^0\), wobei die Indikatorfunktion \(\theta\ ) ist im Austenit Null und in den beiden betrachteten Martensitvarianten entweder \(+1\) oder \(-1\). Für eine gegebene Mikrostruktur kann die elastische Energie dann im reziproken Raum berechnet werden, wie im Abschnitt „Methoden“ gezeigt. Für die Formulierung als Ising-Modell diskretisieren wir unsere Mikrostruktur mit kleinen, nicht überlappenden quaderförmigen Körnern wie oben diskutiert und weisen jedem von ihnen wie zuvor einen „Spin“ \(s_i\) zu, so dass das Indikatorfeld zu einer Überlagerung \(\theta (\textbf{r}) = \sum _i s_i \theta _i(\textbf{r})\), wobei \(\theta _i\) innerhalb des entsprechenden Quadrats gleich Eins und außerhalb Null ist. Daher zerfällt die elastische Energie in paarweise Wechselwirkungen (für \(i\ne j\)) und Selbstenergieterme (für \(i=j\))

wobei der Integralkern \(B(\textbf{r})\) durch die Umkehrung der elastischen Green-Funktion definiert ist. Daher reicht es aus, die Fourier-Transformationsenergieberechnungen für alle Paare derselben Martensitvariante \(s_i=s_j=1\) auf den diskreten Gitterplätzen im Volumen V durchzuführen; Für periodische Randbedingungen und identische Kornformen reicht es aufgrund der Translationsinvarianz aus, die elastische Wechselwirkungsenergie zwischen einem Referenzkorn und allen anderen Körnern zu berechnen. Bei festen durchschnittlichen Dehnungsrandbedingungen erscheint ein zusätzlicher homogener Term (siehe Abschnitt Methoden), der sowohl zur Spin-Spin-Wechselwirkung \(J_{ij}\) als auch zum Magnetfeldterm \(h_i\) beiträgt. Dies fehlt für Randbedingungen mit einer durchschnittlichen Spannung von Null. Die resultierende vollständig besetzte Matrix von Kopplungskonstanten mit sowohl positiven als auch negativen Einträgen weist Ähnlichkeiten zu Spinglassystemen mit zufälligen Kopplungen auf, die in der Literatur mit herkömmlichen Ansätzen untersucht wurden, siehe z. B. 38.

Für den einfachsten Fall, dass die Eigenspannung rein dilatatorisch und isotrop ist, gilt das Bitter-Crum-Theorem und die Gesamtenergie hängt nur vom Volumenanteil der Martensitvariante ab, wobei keine Wechselwirkung zwischen den Körnern vorliegt und nur ein Eigenenergieterm übrig bleibt39.

Für eine nichttriviale elastische Wechselwirkung und den Link zur vorherigen 1D-Beschreibung betrachten wir eine Schertransformationsdehnung mit \(\varepsilon _{xy}^0=\varepsilon _{yx}^0=\varepsilon _0\), wobei alle anderen Komponenten verschwinden. In diesem Fall erhalten wir eine abstands- und orientierungsabhängige Wechselwirkung, wie in Abb. 2a dargestellt, die hier für den Fall verschwindender Durchschnittsspannung berechnet wird, \(\langle \sigma _{ik}\rangle =0\). Hier und in den folgenden Teilen wird das Poisson-Verhältnis als \(\nu =1/4\) (also \(\lambda =\mu\)) gewählt.

Wechselwirkungsenergien zweier Körner gleichen Variantentyps (\(\mathbf {s_i=s_j}\)). Wechselwirkungsenergien im Fall von (a) Schereigenspannung und verschwindender Durchschnittsspannung und (b) tetragonaler Eigenspannung. Die Wechselwirkungsenergie pro Länge wird in Einheiten von \(\lambda a^3 \varepsilon _0^2\) angegeben, und die Berechnungen wurden unter Verwendung einer Systemgröße von \(L_x/a=L_y/a=50\) durchgeführt, wobei a ist die Kantenlänge der Körner. Im Abstand \(r/a=0\) berühren sich die Körner. Die Symbole auf den kontinuierlichen Kurven geben die Informationen für die Wechselwirkung an diskreten Gitterplätzen an, die tatsächlich in den Annealer-Simulationen verwendet werden.

Die Wechselwirkungsenergie wird durch Subtrahieren der elastischen Eigenenergien \(E_\text{self}\) für jedes der beiden (isolierten) Martensitkörner innerhalb der austenitischen Matrix von der gesamten elastischen Energie \(E_\text{el}\) erhalten. der Zweikornanordnung, also \(E_\text{int}=E_\text{el}-2E_\text{self}\), um die Wechselwirkungsenergie so zu normalisieren, dass sie für große Kornabstände auf Null abfällt. Für kurze Distanzen ergibt sich für die \(\langle 100\rangle\)-Richtung ein Übergang zwischen Anziehung und Abstoßung, während sich für die diagonalen \(\langle 110\rangle\)-Richtungen eine rein abstoßende Wechselwirkung ergibt. Aufgrund der periodischen Randbedingungen hängt das Ergebnis von der Systemgröße \(V=L_x\times L_y\) ab, da die Körner auch mit ihren periodischen Bildern interagieren und daher \(r\ll L_x, L_y\) beobachtet werden muss der Zerfall der Interaktion.

Wir stellen fest, dass die Wechselwirkungsenergie in zwei Dimensionen asymptotisch zu \(r^{-2}\) abfällt, wohingegen sie in drei Dimensionen in großen Systemen zu \(r^{-3}\) skaliert, was aus den elastischen Green-Werten folgt Funktion40. Für die Quantum Annealer-Implementierung werden die Wechselwirkungsenergien nur für die diskreten Gitterpunkte (Symbole auf den Kurven) benötigt. Obwohl der Zerfall der elastischen Wechselwirkung darauf hindeutet, sie über eine bestimmte Distanz im realen Raum hinaus abzuschneiden, stellt sich heraus, dass ein solcher Ansatz ungeeignet ist, da er letztendlich zu ungültigen Gleichgewichtsmikrostrukturen führt und es daher wichtig ist, alle beizubehalten Interaktionsterme \(J_{ij}\) mit hoher Präzision, um unerwünschte Effekte zu vermeiden. Wir stellen fest, dass die Formulierung des Quantenglühers nicht von der Dimensionalität abhängt, daher gilt das Skalierungsdiagramm in Abb. 1b auch hier.

Basierend auf der Berechnung der elastischen Wechselwirkungen erhalten wir aus der Ising-Modellimplementierung auf dem Quanten-Annealer mit Hybrid-Solver-Streifenmustern in \(\langle 100\rangle\)-Richtung als Gleichgewichtsstrukturen. Diese Muster sind in dem Sinne unregelmäßig, dass die Breite der Streifen nicht gleichmäßig ist. Dies steht in Analogie zum oben diskutierten 1D-Modell, bei dem wir festgestellt haben, dass die Anordnung der beiden Varianten nicht bestimmt ist. Dieser physikalisch zu erwartende Zufall ist aus der Modellformulierung nicht trivial, da wir (i) im 1D-Modell eine distanzunabhängige Wechselwirkung im diskretisierten Modell hatten, wo die Wechselwirkung hier deutlich komplexer ist, sich aber zur gleichen Effektivität summiert Beschreibungen für die periodische Anordnung; (ii) eine Drehung des Musters um 90 Grad ist möglich und wird aufgrund der diskreten Rotationssymmetrie manchmal aus der optimalen Konfiguration erhalten; (iii) die Festlegung der durchschnittlichen Spannung im Vergleich zur gegebenen durchschnittlichen Dehnung in der 1D-Formulierung kann zu ungleichen Verteilungen der verschiedenen Varianten führen. Insbesondere für das derzeit betrachtete Fehlen einer äußeren Spannung (was in der Ising-Terminologie ein verschwindendes Magnetfeld impliziert) gibt es keine Einschränkung der Art \(\langle s_i\rangle = 0\) für die durchschnittliche Spinausrichtung. Alle Streifenkonfigurationen sind energetisch gleichwertig, was die Möglichkeit einer einzelnen Variantenkonfiguration einschließt. Diese Ergebnisse bestätigen daher gleichzeitig die Genauigkeit der Berechnung der elastischen Wechselwirkung mit der paarweisen Zerlegung sowie die Fähigkeit des Quantenannealers, die wahren Grundzustandskonfigurationen zu identifizieren.

Als nächstes Beispiel verwenden wir eine tetragonale Eigenspannung mit den einzigen nicht verschwindenden Komponenten \(\varepsilon _{xx}^0=-\varepsilon _{yy}^0=\varepsilon _{zz}^0=\varepsilon _0\). Zunächst betrachten wir noch einmal die Situation mit verschwindender Durchschnittsspannung, \(\langle \sigma _{ij}\rangle = 0\). Die entsprechende Wechselwirkungsenergie ist in Abb. 2b für \(\nu =1/4\) dargestellt. In diesem Fall ist die Gleichgewichtsmikrostruktur trivial und besteht aus einer einzigen Variante, da in diesem Fall die elastische Energie für das Periodensystem Null ist. Die Situation unterscheidet sich daher von der vorherigen Scherumwandlung, wo auch lamellare Anordnungen bei beiden Varianten zu spannungsfreien Situationen führen. Der Grund dafür ist, dass jede Schnittstelle zwischen zwei Varianten zu einer Nichtübereinstimmung benachbarter Varianten für die tetragonale Transformation führt und daher eine solche Situation hier energetisch ungünstig ist. Eine Änderung der Randbedingungen zur verschwindenden mittleren Dehnung, \(\langle \varepsilon _{ij}\rangle =0\), ändert die Situation, da dann Anordnungen mit gleichen Anteilen beider Varianten bevorzugt werden, da dies den Volumenanteil verringert die elastische Energie. In diesem Fall finden wir regelmäßige geneigte Streifen als Gleichgewichtsmuster, wie in Abb. 3a dargestellt.

Resultierende Streifenmuster für tetragonale Eigendeformationen. (a) Gleichgewichtsstruktur mit drei Streifenpaaren (gezählt entlang der horizontalen Achse) in einem System bestehend aus \(50\times 50\) quaderförmigen Körnern. Es wird eine verschwindende mittlere Dehnung \(\langle \varepsilon _{ij}\rangle =0\) auferlegt. Die Breite der Streifen ist gleichmäßig und besteht aus Körnern mit der Konfiguration \(s_i=+1\) (rot) und \(s_i=-1\) (grün). (b) Elastische Energie von Streifenmustern mit unterschiedlichen Neigungswinkeln \(\phi .\) Die durchgezogenen Kurven entsprechen glatten Streifen (die Korngröße \(a/L_x, a/L_y\ll 1\) ist vernachlässigbar) und zeigen a ausgeprägter stationärer Punkt für Neigungen, bei denen sich das Muster periodisch wiederholt, ohne Knicke an den Grenzen. Die Quadrate entsprechen Situationen mit der gleichen Anzahl von Streifen, in denen das System durch \(50\times 50\) quadratische Körner diskretisiert ist, was zu ausgeprägten Aliasing-Effekten führt und die resultierende elastische Energie höher ist als bei den glatten Streifen. Dies verschiebt das energetische Minimum für 6 Streifenpaare bei \(\phi \ca. 40^\circ\) zu einem niedrigeren Winkel \(\phi \ca. 33^\circ\) bei 3 Streifenpaaren. Die unendliche Systemgrößenbeschränkung für glatte Streifen wird als schwarz gepunktete Kurve dargestellt.

Auch hier ist die Lösung nicht eindeutig; Insbesondere aufgrund der Translationsinvarianz gibt der Annealer auch Konfigurationen zurück, bei denen die Streifen verschoben sind. Auch ein Wechsel des Vorzeichens des Neigungswinkels \(\phi\) (siehe Definition in der Abbildung) führt zu energetisch äquivalenten Lösungen. Wir finden jedoch keine Grundzustandskonfigurationen, die zu unterschiedlichen (absoluten) Neigungswinkeln oder Streifenbreiten oder sogar unregelmäßigen Variationen derselben führen, im Gegensatz zum vorherigen Schertransformationsfall.

Der Grund für die beobachteten Grundzustandsmorphologien ist eine Kombination aus Kontinuumselastizitätseffekten, der körnigen Struktur des Materials und Einschränkungen durch periodische Randbedingungen. Abbildung 3b zeigt die berechnete elastische Energie für verschiedene Anzahlen regelmäßiger Streifenanordnungen im Periodensystem als Funktion des Neigungswinkels \(\phi\). Hier sehen wir einen ausgeprägten Einfluss der Korngröße, da die elastische Energie von Konfigurationen mit regelmäßigen Streifenpaaren mit einer Diskretisierung um \(50\times 50\) Körner (Quadrate in der Abbildung) höher ist als für entsprechende Fälle mit sehr feinen Körnern , wobei Diskretisierungseffekte keine Rolle mehr spielen (glatte Kurven). Die oszillierende Natur ist auf die periodischen Randbedingungen zurückzuführen, da eine falsche Wahl des Neigungswinkels zu Diskontinuitäten der Streifenmuster an den Grenzen führt, was energetisch ungünstig ist. Daher entsprechen kontinuierliche Muster den stationären Punkten der Kurven. Für bestimmte Winkel treffen sich die Kurven für drei und sechs Streifenpaare an lokalen Minima, was eine Folge der Skaleninvarianz der linearen Elastizität ist. Aus den glatten Kontinuumsgrenzkurven würde man schließen, dass ein Winkel von etwa \(\phi \ca. 40^\circ\) zur energetisch niedrigsten Konfiguration (absolutes Minimum der glatten roten Kurve) führen sollte. Darüber hinaus ist im Grenzfall unendlicher Systeme, in denen periodische Randbedingungen keine Rolle mehr spielen, eine analytische Behandlung möglich, die zum Energieausdruck \(E_\text{el}^\infty = VB(n)/2\ führt ) für gleichen Volumenanteil der beiden Varianten mit

mit \(n=\cos \phi\). Die Energieminimierung ergibt den optimalen Winkel \(\phi =\cos ^{-1}\sqrt{5/8}\ca. 37,8^\circ\), siehe Abb. 3b (Minimum der schwarz gepunkteten Kurve).

Diese Vorhersagen stimmen jedoch nicht mit dem Befund des Quantenglühers überein, der eine Konfiguration mit drei Streifenpaaren bei einem kleineren Winkel von \(\phi \ca. 33^\circ\) begünstigt. Diese Beobachtung kann unter Berücksichtigung der körnigen Struktur der hier untersuchten Muster verstanden werden, da die Mikrostruktur in den Glühsimulationen aus \(50\times 50\) quadratischen Körnern besteht. Erstens durchbricht das explizite Erscheinen der Längenskala a die Skaleninvarianz des periodischen Musters, und daher fallen die Minima der Energiekurven, die zu den diskreten Mikrostrukturen (Quadrate in Abb. 3b) gehören, nicht mehr an den lokalen Minima zusammen. Darüber hinaus werden mit zunehmender Neigung Antialiasing-Effekte der Muster relevanter, und daher zeigen die Energiekurven eine zunehmende Abweichung von den Kontinuumsgrenzkurven. Dadurch verschiebt sich das energetische Minimum in der diskreten Mikrostruktur tatsächlich in Richtung einer Konfiguration mit drei Streifenpaaren bei \(\phi \ca. 33^\circ\) (absolutes Minimum der blauen Quadrate in Abb. 3b), was im Einklang steht mit der Vorhersage des Quanten-Annealers. Folglich können Details der granularen Struktur die Energetik im Vergleich zu einer vollständigen Kontinuumsnäherung verändern, insbesondere da viele lokale Minima der elastischen Energie nahe beieinander liegen.

Der oben vorgestellte Ansatz ist nicht auf miteinander interagierende quaderförmige Körner beschränkt, sondern kann auch auf realistische Mikrostrukturen angewendet werden. Um die Verfahren zu veranschaulichen, haben wir mithilfe einer Voronoi-Tesselierung41 eine Mikrostruktur erzeugt, die aus \(N=400\) Körnern besteht. Jedes Korn darf mit dem tetragonalen Eigendehnungstensor eine von zwei Martensitvarianten annehmen, und wir berechnen alle gegenseitigen elastischen Wechselwirkungen zwischen ihnen vorab. Wir stellen fest, dass wir hier im Gegensatz zu den quaderförmigen Körnern in einer periodischen Anordnung die Translationsinvarinz aufgrund der unterschiedlichen Formen der Körner nicht ausnutzen können, und daher skalieren diese Berechnungen der elastischen Wechselwirkungsenergie hier als \({{\mathcal {O}} }(N^2)\) anstelle von \({{\mathcal {O}}}(N)\) vorher, obwohl wir immer noch periodische Randbedingungen verwenden. Zusätzlich betrachten wir nun beliebige gegebene äußere Spannungen \(\langle \varepsilon _{ij}\rangle\), was zum Auftreten eines „magnetischen“ Begriffs wie in der eindimensionalen Beschreibung führt. Damit können wir mithilfe des Hybrid-Quanten-Annealers die Verteilung der Gleichgewichtsvarianten innerhalb der Mikrostruktur vorhersagen, und dieser Schritt wird typischerweise innerhalb weniger Sekunden Laufzeit ausgeführt.

Beispiele für die Gleichgewichtsmikrostrukturen sind in Abb. 4 als Funktion der von außen angelegten Dehnung \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle\) dargestellt, während die anderen durchschnittlichen Dehnungskomponenten verschwinden.

Resultierende Gleichgewichtsvariantenverteilung mit einheitlicher Kornorientierung. Die Mikrostrukturen bestehen aus 400 Körnern und die Zugspannung wird in horizontaler (x) Richtung ausgeübt. Rote (grüne) Körner entsprechen der Variante \(s_i=+1\) (\(s_i=-1\)). Die Zugspannung beträgt (a) \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle /\varepsilon _0 = 0\), (b) \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle /\varepsilon _0 = 0,1\ ), (c) \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle /\varepsilon _0 = 0.5\), (d) \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle /\varepsilon _0 = 0.9\), (e) \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle /\varepsilon _0 = 1.1\) und (f) \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle /\varepsilon _0 = 1.3\).

Die beobachteten Mikrostrukturen ähneln in der Tat denen, die wir vor der quadratischen Diskretisierung gefunden haben, allerdings weichen hier die Bandbreiten und die Orientierung aufgrund mikrostruktureller Details und der geringeren Anzahl von Körnern vom vorherigen Fall ab und diese Effekte können durch eine ähnliche Analyse erklärt werden zu dem für Abb. 3b gemachten. Wir stellen fest, dass in diesen Mikrostrukturen alle Körner die gleiche Ausrichtung haben und daher die Anwendung einer Zugspannung die Auswahl der Kornvariante \(s_i=+1\) stark begünstigt (für eine Drucksituation beobachten wir das entgegengesetzte Verhalten) und Eine vollständige Ausrichtung aller Varianten finden wir im letzten Schnappschuss.

Darüber hinaus haben wir die gleiche Analyse für Körner mit gleichmäßig verteilter Zufallsorientierung durchgeführt, was eine Rotation des lokalen Transformationsdehnungstensors impliziert, siehe Abb. 5 für die Kornorientierungen und für die Variantenauswahl.

Resultierende Gleichgewichtsvariantenverteilung mit zufälliger Kornorientierung. (a) Kornorientierungskarte entsprechend den Mikrostrukturen. Im Farbbalken wird der Kornrotationswinkel aufgrund der Symmetrie im Bogenmaß (Modulo \(\pi\)) angegeben. Die Rotationsachse liegt in der [001]-Richtung. Die Mikrostrukturen bestehen aus 400 Körnern und die Zugspannung wird in horizontaler (x) Richtung ausgeübt. Die Körner haben eine zufällige Orientierung, die aufgrund einer gleichmäßigen Verteilung in allen Fällen gleich ist. Die Zugdehnung in horizontaler Richtung beträgt (b) \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle /\varepsilon _0 = 0\) und (c) \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle /\varepsilon _0 = 2,1\). Rote (grüne) Körner entsprechen der Variante \(s_i=+1\) (\(s_i=-1\)).

Auch hier scheint die ausgeglichene räumliche Verteilung der Varianten unregelmäßig zu sein. Die Anwendung einer Zugspannung begünstigt wiederum die „Ausrichtung“ der Variante, aber dieses Mal wählen selbst bei hohen Spannungen nicht alle Körner die gleiche Variante, was auf die lokale Rotation zurückzuführen ist. Tatsächlich hat ein Korn, das um \(90^\circ\) in Bezug auf die Dehnungsrichtung gedreht ist, eine Vorliebe dafür, sich im Variantenzustand \(s_i=-1\) zu befinden, da dann die Richtung der Expansion ausgerichtet ist die äußere Zugspannung. Dies ist beispielsweise in Abb. 5(c) für die höchste Zugdehnung in x-Richtung deutlich zu erkennen, wo die verbleibenden Flecken mit „Spin“ \(s_i=-1\) den Körnern mit einer Orientierung nahe \(\pi) entsprechen /2\) (oder \(3\pi /2\)). Wir betonen, dass für eine gegebene Mikrostruktur (Formen aller Körner) die gegenseitigen elastischen Korn-Korn-Wechselwirkungen nur einmal berechnet werden müssen. Wie bereits erwähnt, muss dieser Schritt mit hoher Präzision ausgeführt werden und ist daher der Schritt, der die höchste Rechenzeit erfordert. Danach wirken sich alle Änderungen der äußeren Randbedingungen nur auf den \(k=0\)-Modus aus, der zu den Wechselwirkungen \(J_{ij}\) und \(h_i\) beiträgt, und diese Terme können analytisch berechnet werden (siehe Methoden). Abschnitt). Da jede hybride Quantum-Annealing-Berechnung typischerweise nur wenige Sekunden benötigt, kann die gesamte Mikrostrukturänderung während der mechanischen Belastung extrem schnell berechnet werden.

Das zentrale Ergebnis der vorliegenden Arbeit ist die gezeigte Optimierung von Mikrostrukturen durch Quantum Annealing, die einen klaren Leistungsvorteil des neuartigen Ansatzes im Vergleich zu herkömmlichen Energieminimierungsstrategien zeigt. Der Brute-Force-Ansatz wird nicht empfohlen, wohingegen optimierte Simulated-Annealing-Algorithmen gute Ergebnisse liefern. Quantum Annealing stellt jedoch die bei weitem schnellste Methode für Optimierungsprobleme dar, insbesondere für Systeme mit einer hohen Anzahl von Körnern (Spins) und nicht verschwindenden Kopplungskonstanten und Bias, und ermöglicht die Bestimmung von Grundzustandskonfigurationen für Systemgrößen, die nicht zugänglich sind für die klassischen Algorithmen auf vernünftigen Rechenzeitskalen.

Für ein System bestehend aus N Körnern müssen wir \({{\mathcal {O}}}(N^2)\) Spin-Spin-Wechselwirkungen berechnen. Diese elastischen Energieberechnungen müssen mit hoher Genauigkeit durchgeführt werden und dominieren daher die gesamte Rechenzeit. Danach müssen \({{\mathcal {O}}}(2^N)\) Spinkonfigurationen verglichen werden, um die Gleichgewichtskonfiguration zu identifizieren. Für den herkömmlichen Algorithmus dominiert dieser kombinatorische Schritt bereits für niedrige Werte von N den gesamten Rechenaufwand. Im Gegensatz dazu ist beim Quanten-Annealer oder seiner Hybridvariante die Rechenzeit für die Minimierung des Ising-Energieausdrucks im Vergleich zur elastischen Wechselwirkung völlig vernachlässigbar Energieberechnungen. Damit haben wir gezeigt, dass die Qualitätssicherung die Suche nach mikrostrukturellen Gleichgewichtszuständen in festen Phasen mit weitreichenden elastischen Wechselwirkungen drastisch optimieren kann. Der Einsatz des Hybrid Quantum Annealing ermöglicht bereits heute die Berechnung von Mikrostrukturen mit mehreren tausend Körnern, die alle miteinander interagieren, was für eine realistische Modellierung von Mikrostrukturen in verschiedenen Materialien unerlässlich ist.

Für viele anwendungsrelevante Untersuchungen ist es entscheidend zu verstehen, ob und wie Modelle formuliert werden können, die für Quantencomputing geeignet sind. Wir haben dies hier für den speziellen Fall langreichweitiger elastischer Wechselwirkungen demonstriert. Erweiterungen zur Berücksichtigung von Grenzflächenenergie, mehreren Martensitvarianten, anisotroper Elastizität, Orientierungsbeziehungen zwischen Körnern und Phasen sowie unterschiedlichen räumlichen Dimensionen liegen auf der Hand, da sie konzeptionell keinen Einfluss auf die vorgestellte Strategie der Problemformulierung im Sinne eines Ising-Modells haben. Inhomogene Elastizität und die Nähe zu freien Oberflächen können effektiv zu Vielteilchenwechselwirkungen führen, für die störende Erweiterungen oder die Einführung von Produktspinvariablen vielversprechende Richtungen sind37,42. Über die rein elastischen Effekte hinaus umfassen weitere mögliche Anwendungen Phasenänderungen in mehrphasigen Festkörperbatterien, Phasenumwandlungen in hochfesten Stählen oder anderen Materialien wie Ferroelektrika. Insgesamt kann die Trennung von kontinuierlichen und diskreten Freiheitsgraden und die Quantenbehandlung der letzteren auch für hybride Phasenfeld- und Quanten-Annealing-Beschreibungen von Vorteil sein, die eine Variantenauswahl mit einer Kornmorphologieentwicklung auf effiziente Weise kombinieren, um den Rechenzeitbedarf drastisch zu reduzieren bestehender Ansätze für anwendungsrelevante Stichprobengrößen.

Wie Allzweck-Quantencomputer besteht ein Quanten-Annealer aus Qubits, die hier mithilfe supraleitender Schleifen Informationen speichern und verarbeiten. Ein im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn zirkulierender Strom in einer solchen Schleife repräsentiert verschiedene Spinzustände12. In jedem Qubit interagieren supraleitende Schleifen mit externen Flussvorspannungen, was den Aufbau einer Energielandschaft ermöglicht, in der die Flüsse die Barrierenhöhe und die Energiedifferenz beeinflussen12. Zu Beginn der Berechnung wird das System im Grundzustand eines bekannten Hamilton-Operators \(H_0\sim -\sum _i \sigma _i^x\) mit Pauli-Matrizen \(\sigma _i\) initialisiert, also einer starken Transversalen Magnetfeld13,43. Während des Glühprozesses wird der Hamilton-Operator basierend auf einem Ising-Modell11 \(H_p = \sum _ih_is_i+\sum _{i

Da dieser Ansatz in der Praxis nicht immer den Zustand mit der niedrigsten Energie liefert, insbesondere wenn energetisch nahe beieinander liegende Zustände mit niedriger Energie vorliegen, wird eine geeignete Anzahl von Wiederholungen durchgeführt und die Konfiguration mit der niedrigsten erkannten Energie verwendet. Wenn die Ising-Probleme nicht mit der Architektur der QPU übereinstimmen, deckt ein Untergraph gekoppelter Qubits, sogenannte Ketten, eine Variable des Problems in der sogenannten Minor Embedding ab36,46. Darüber hinaus nutzt das hybride Quanten-Annealing für große Systeme klassische Algorithmen und das Zusammenspiel mit Quanten-Annealing in Bereichen mit hohen Rechenanforderungen unter Verwendung eines QPU-Coprozessors, der mit generischen Parametern für bis zu 11616 Spinvariablen auf dem D-Wave Advantage-System arbeitet36,47. In der Praxis ermöglicht das D-Wave-Framework Leap48 eine direkte Formulierung im Sinne eines Ising-Hamiltonian-Problems.

Für N Spins berechnen wir die Energie aller \(2^N\) möglichen Konfigurationen, um das Minimum zu bestimmen. Dieser deterministische Ansatz liefert die wahre Grundzustandsenergie, erfordert jedoch einen hohen Rechenaufwand.

Für diesen probabilistischen Ansatz49 wird eine zufällige Anfangskonfiguration gewählt. Eine neue Kandidatenkonfiguration, die wir hier durch einen einzelnen Spinflip erzeugen, wird akzeptiert, wenn ihre Energie niedriger als der vorherige Wert ist. Ist die Energie um einen Betrag \(\Delta E\) höher, wird die Konfiguration mit einer durch den Boltzmann-Faktor \(\exp (-\Delta E/T)\ gegebenen Wahrscheinlichkeit akzeptiert, um nicht hängenzubleiben lokale Energieminima. Während der Simulation wird die Temperatur T entsprechend einer bestimmten Kühlstrategie reduziert, um am Ende der Simulation einem energetischen Minimum anzunähern. Da unser Hauptziel nicht darin besteht, die Leistung der (klassischen) Algorithmen zu maximieren, sondern das allgemeine Skalierungsverhalten zu demonstrieren, verzichten wir auf eine detaillierte Diskussion der Parameteroptimierung des probabilistischen Simulated-Annealing-Ansatzes. Dazu gehört insbesondere der Einsatz geeigneter Abschaltkriterien, wenn keine weitere Reduzierung der Energie erfolgt, sowie der Einsatz problemangepasster Kühlstrategien. Für den Ansatz des simulierten Temperns verwenden wir in jeder Iteration einzelne Spin-Flip-Versuche, und die Temperatur T wird jedes Mal um \(\Delta T/\mu _\text{eff}\varepsilon _0^2d ^2 = 10^{- verringert. 6}\), was eine gute Leistung für große Systemgrößen liefert. Die Simulationen werden nach einer festen Anzahl von \(10^{7}\) Schritten gestoppt, die für das größte betrachtete Spinsystem mit \(N=150\) in Abb. 1b optimiert ist, was zu einer Skalierung der Rechenzeit führt \(\sim N^2\) aufgrund der Berechnung der Wechselwirkungsenergie.

Wir lösen das elastische Problem eines Mehrkornaufbaus mit homogener linearer Elastizität, dh es wird angenommen, dass alle Varianten und Phasen die gleichen elastischen Konstanten haben. Außerdem wird von kohärenten Grenzflächen ausgegangen, was eine Kontinuität der Verschiebungen an den Grenzflächen bedeutet. Die Martensitvarianten weisen im Vergleich zur Mutteraustenitphase unterschiedliche spannungsfreie Dehnungen (oder Eigendehnungen) auf, daher lautet die Spannungs-Dehnungs-Beziehung für allgemeine lineare Elastizität \(\sigma _{ij} = \lambda _{ijkl}(\varepsilon _{ kl}-\varepsilon _{kl}^{(0)})\), wobei \(\varepsilon _{kl}^{(0)}(\textbf{r})\) der lokale spannungsfreie Dehnungstensor ist und \(\lambda_{ijkl}\) der elastische Tensor. Wir bestimmen die elastische Gleichgewichtskonfiguration, die der Bedingung \(\partial \sigma _{ij}/\partial x_j=0\) in Volumendomänen und der Kontinuität der Normalspannungen an Grenzflächen gehorcht, mithilfe von Fourier-Transformationsansätzen32. Daraus kann die elastische Energie im reziproken Raum als32 berechnet werden

für ein periodisches System mit verschwindender Durchschnittsspannung als Randbedingung, wobei \(\hat{\theta }(\textbf{k})\) die Fourier-Transformierte des Indikatorfeldes \(\theta (\textbf{r})\ ist ) und \(B(\textbf{n})\) mit \(\textbf{n}=\textbf{k}/k\) gleich \(B(\textbf{n}) = \sigma _{ij} ^0\varepsilon _{ij}^0 - n_i \sigma _{ij}^0 \Omega _{jk} \sigma _{kl}^0 n_l\) mit \(\sigma ^0_{ij}=\lambda _{ijkl}\varepsilon _{kl}^0\). Hier ist \(\Omega _{ij}(\textbf{n})\) der normalisierte Green-Tensor für Verschiebungen, der durch seine Umkehrung als \(\Omega _{ik}^{-1} = \lambda _{ijkl}n_j n_l\). Die Summe in Gl. (3) liegt aufgrund der periodischen Randbedingungen im realen Raum über diskreten Vektoren. Die Summe ist im Prinzip unendlich und kann mithilfe der Dekorationstechnik50 effizient berechnet werden. Für durchschnittliche Dehnungsrandbedingungen, also einen vorgeschriebenen Wert von \(\langle \varepsilon _{ij}\rangle\), erscheint in Gl. ein zusätzlicher homogener (\(\textbf{k}=0\))-Beitrag. (3), das lautet \(E_\text{hom} = V \lambda _{ijkl} (\langle \varepsilon _{ij}\rangle - \langle \varepsilon _{ij}^{(0)}\rangle ) (\langle \varepsilon _{kl}\rangle - \langle \varepsilon _{kl}^{(0)}\rangle )/2\), die analytisch berechnet werden kann.

Die im Rahmen dieses Projekts gewonnenen Daten werden auf Anfrage vom entsprechenden Autor zur Verfügung gestellt.

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Diese Forschung wurde vom Bundesministerium für Bildung und Forschung (BMBF) über das Projekt Meet HiEnD 3 und das Helmholtz-Projekt ZeDaBase gefördert. Open Access wurde von der Deutschen Forschungsgemeinschaft (DFG) gefördert - 491111487. Die Autoren danken dem Jülich Supercomputing Centre (https://www.fz-juelich.de/ias/jsc) für die Finanzierung dieses Projekts durch die Bereitstellung von Rechenleistungen Zeit auf dem D-Wave \(\hbox {Advantage}^{\text{TM}}\) System JUPSI durch die Jülich UNified Infrastructure for Quantum Computing (JUNIQ).

Open-Access-Förderung ermöglicht und organisiert durch Projekt DEAL.

Structure and Function of Materials, Institute of Energy and Climate Research, Forschungszentrum Jülich GmbH, 52425, Jülich, Germany

Roland Sandt & Robert Spatschek

Universität Paris-Saclay, ONERA, CNRS, Labor für Mikrostrukturstudien, 92320, Châtillon, Frankreich

Yann Le Bouar

JARA-ENERGY, 52425, Jülich, Deutschland

Robert Spatschek

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R.Sa., YLB und R.Sp. trug zu analytischen und numerischen Berechnungen, Methodik, Visualisierung und Analyse bei. Alle Autoren haben zum Verfassen des Manuskripts beigetragen.

Korrespondenz mit Roland Sandt.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Sandt, R., Le Bouar, Y. & Spatschek, R. Quantentemperung für den Mikrostrukturausgleich mit weitreichenden elastischen Wechselwirkungen. Sci Rep 13, 6036 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-33232-w

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Eingegangen: 24. Januar 2023

Angenommen: 10. April 2023

Veröffentlicht: 13. April 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-33232-w

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